Potenza (matematica)

Le potenze sono delle operazioni matematiche che sostituiscono le moltiplicazioni multiple tra numeri o variabili uguali, semplificandone sia la scrittura che l’elaborazione.

Se l’esponente è maggiore di 1, la potenza è il prodotto di tanti fattori quanti vengono indicati dal numero dell’esponente, tutti uguali alla base. Da questa affermazione si evince che l’esponente debba essere almeno maggiore o uguale a 2, per far si che si abbia almeno una moltiplicazione, ossia due fattori.

Se la base della potenza è negativa e l’esponente è dispari, il segno diventa positivo, in tutti gli altri casi il segno rimane (o diventa) positivo sia nel caso in cui l’esponente è dispari che pari. Ad esempio: se a rappresenta il valore assoluto della base, mentre p un numero naturale pari e d uno dispari si avranno i seguenti casi:

( + a)p = + ap

( + a)d = + ad

( – a)p = + ap

( – a)d = – ad

Proprietà delle potenze

Prima proprietà delle potenze

La prima proprietà delle potenze è il prodotto di potenze di uguale base che enuncia: il prodotto tra potenze con uguale base è equivalente ad una potenza con la stessa base ed esponente pari alla somma degli esponenti dei fattori, in termini matematici:

ax · ay = ax + y

Seconda proprietà delle potenze

La seconda proprietà delle potenze è il quoziente di potenze di uguale base che enuncia: il quoziente tra potenze di uguale base è una potenza con la stessa base, ma che ha come esponente la differenza degli esponenti; a condizione che l’esponente del secondo fattore sia minore o uguale dell’esponente del primo e con la base diversa da 0, in termini matematici:

ax : ay = ax – y

con a ≠ 0 e x ≥ y.

Terza proprietà delle potenze

La terza proprietà delle potenze è la potenza di una potenza, ovvero una potenza elevata ad un’altra potenza, che ha dunque la stessa base e per esponente il prodotto degli esponenti; in termini matematici:

(ax)y = ax · y

Quarta proprietà delle potenze

La quarta proprietà delle potenze è il prodotto di potenze di uguale esponente, ovvero una potenza che ha per base il prodotto delle basi e per esponente lo stesso esponente:

ax · bx = (a · b)x

Quinta proprietà delle potenze

La quinta proprietà delle potenze è il quoziente di potenze di uguale esponente, ovvero una potenza che ha per base il quoziente delle basi e per esponente lo stesso esponente:

ax : bx = (a : b)x

ovviamente con b ≠ 0.

Casi particolari

Potenze con esponente pari a 1 oppure a 0, esistono ed hanno comunque significato:

Esponente pari a zero

Elevando a 0 un numero (o una variabile) diverso da 0 si ottiene 1 (se a ≠ 0):

a0 = 1

Esponente pari a uno

Elevando a 1 un numero (o una variabile) si ottiene il numero stesso:

a1 = a

Esponente negativo

Elevando un numero (o una variabile) a -x (con x > 0) si ottiene l’inverso del numero stesso:

Esponente n-esimo di zero

Elevando ad una potenza n-esima il numero zero si ottiene comunque zero:

0n = 0

con n ∈ N, n ≠ 0.

Caso impossibile

Non ha significato la potenza con base ed esponente pari a zero:

00

Esercizi svolti e commentati passo-passo sulle equazioni esponenziali

Esercizio 1

Risolviamo la seguente equazione esponenziale:

notiamo che…

ora risolviamo per x all’esponente

3x = – 3 la soluzione dunque è: x = – 1

Esercizio 2

Risolviamo la seguente equazione esponenziale:

ora risolviamo per x all’esponente (ricordando le proprietà delle potenze)

3x + 6x = 4(x + 5)

9x = 4x + 20 quindi otteniamo: x = 4

Voci correlate