Polinomio

Indice dei contenuti

    Si definisce polinomio la somma algebrica di monomi. I monomi che compongono un polinomio si dicono termini del polinomio. Il termine polinomio deriva dall’unione tra il prefisso greco polýs che significa “molto” e del sostantivo latino nomen che significa “parola, termine”. I monomi che compongono un polinomio sono detti termini del polinomio.

    I polinomi, essenzialmente, esistono perché non tutte le somme algebriche tra monomi danno come risultato un altro monomio. Inoltre, ogni monomio può essere visto come un polinomio in quanto: (5x2y = 5x2y + 0) ovvero, ogni monomio può essere visto come somma algebrica di se stesso con il monomio nullo.

    Forma normale di un polinomio

    Un polinomio si dice ridotto a forma normale quando i monomi simili si sommano tra loro, raggruppando a fattore comune:

    5x2y + 3xy2z + 2x2y = 7x2y + 3xy2z

    • 5x2y + 3xy2z + 2x2y non ridotto a forma normale;
    • 7x2y + 3xy2z ridotto a forma normale.

    I polinomi ridotti a forma nomale posso avere nomi particolari a seconda del numero dei termini che li compongono, ad esempio: 1 (monomio), 2 (binomio), 3 (trinomio), 4 (quadrinomio).

    Grado di un polinomio

    Il grado di un polinomio (ridotto) è il grado maggiore fra i gradi dei suoi termini. Inoltre, il grado di un polinomio rispetto ad una lettera è il maggiore dei gradi dei suoi termini rispetto a tale lettera.

    Se tutti i termini hanno lo stesso grado allora il polinomio (ridotto) si dice omogeneo.

    Un polinomio è detto ordinato rispetto ad una lettera se i suoi termini sono disposti in modo tale che gli esponenti di quella lettera sono in ordine crescente o decrescente. Si dice, invece, completo rispetto ad una lettera se per tale lettera sono presenti tutte le potenze dal grado massimo al grado zero. Il termine di grado zero di un polinomio è detto termine noto (è riconoscibile dal fatto che non compare alcuna lettera dato che (x^0=1) vedi proprietà delle potenze).

    Operazioni con i polinomi

    Addizione e sottrazione tra polinomi

    L’addizione tra polinomi si esegue sommando tutti i termini simili (con la stessa parte letterale). Per quanto riguarda la sottrazione, si seguono le stesse regole dell’addizione con particolare attenzione alle regole dei segni.

    Ad esempio dovendo addizionare due polinomi:

    (2x + 3x2 − 5y) + (5y + 7x2 + 5z − 3)

    risolviamo le parentesi e riduciamo il polinomio:

    2x + 3x2 − 5y + 5y + 7x2 + 5z − 3 = 2x+10x2 + 5z − 3

    Moltiplicazone di un monomio per un polinomio

    La moltiplicazione di un monomio per un polinomio si svolge andando a moltiplicare il monomio per tutti i termini del polinomio singolarmente (anche se la parte letterale non è la stessa); ad esempio:

    2x(x2 + 5y + z + 3) = 2x ⋅ x2 + 2x ⋅ 5y + 2x ⋅ z + 2x ⋅ 3

    adesso risolviamo le moltiplicazioni andando a moltiplicare tra loro sia i coefficienti che le rispettive parti letterali:

    2x3 + 10xy + 2xz + 6x

    Moltiplicazione tra polinomi

    Il prodotto di due polinomi si esegue andando a moltiplicare ogni singolo termine del primo polinomio per ogni singolo termine del secondo polinomio, ed infine, addizionando i termini simili dei prodotti ottenuti; ad esempio:

    (x2 + 5y)(z − 3) = x2 ⋅ z − x2 ⋅ 3 + 5y ⋅ z − 5y ⋅ 3

    avendo fatto attenzione ai segni, ora andiamo a risolvere il polinomio ottenuto dal prodotto, moltiplicando tra loro sia i coefficienti che le parti letterali dei singoli termini ed eventualmente andando a sommare i termini simili:

    x2z − 3x2 + 5yz − 15y

    non essendoci termini simili sommabili tra loro il polinomio risultante resta invariato.