Operazioni ed operatori matematici

In Matematica viene definita operazione aritmetica una relazione tra numeri: partendo da almeno due numeri, detti «operandi», si ottiene un unico risultato (che è anch’esso un numero), dipendente dal tipo di operazione oppure «operatore» utilizzato.

Ogni operazione è identificata da un simbolo chiamato operatore:

Un operatore matematico è una relazione matematica tra almeno due numeri. L’operatore assieme ai suoi operandi forma una operazione. Oltre all’operazione diretta, esiste l’operazione inversa che permette di risalire dal risultato ai numeri iniziali.

Ordine delle operazioni

L’ordine in cui le operazioni di un’espressione matematica vengono svolte è stabilito per convenzione come segue:

  1. Vengono svolte per prime le operazioni raggruppate tra parentesi. Se si usano parentesi tonde, quadre e graffe, si svolgono prima le operazioni dentro le tonde, poi dentro le quadre, e infine dentro le graffe. Se si usano solo le parentesi tonde, si volgono prima le operazioni dentro le parentesi più interne, poi man mano fino a quelle più esterne.
  2. Successivamente vengono svolti gli elevamenti a potenza. Nel caso di potenze composte, il calcolo viene eseguito dall’alto verso il basso.
  3. Successivamente si svolgono moltiplicazioni e divisioni, da sinistra verso destra.
  4. Infine, per ultime si svolgono addizioni e sottrazioni, da sinistra verso destra.

Proprietà delle operazioni

Proprietà commutativa (commutatività)

Proprietà commutativa dell’addizione

In un’addizione, se si cambia l’ordine degli addendi, la somma non cambia.

Proprietà commutativa della moltiplicazione

In una moltiplicazione, se si cambia l’ordine dei fattori, il prodotto non cambia.

Proprietà distributiva (distributività)

Proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione

Quando si deve moltiplicare un numero per una somma, si può moltiplicare quel numero per ciascun addendo e poi sommare i prodotti ottenuti, e il risultato non cambia.

Proprietà distributiva della divisione rispetto all’addizione

Quando si deve dividere una somma (o una differenza) per un numero, purché tutti i termini della somma o della differenza siano divisibili per essa, basta dividere ciascun termine della somma (o della differenza) per quel numero ed infine sommare (o sottrarre) tutti i quozienti parziali ottenuti; il risultato non cambia.

Proprietà dissociativa

Proprietà dissociativa della moltiplicazione

La definizione della proprietà dissociativa della moltiplicazione afferma che: a uno o a più fattori se ne sostituiscono altri il cui prodotto è uguale al fattore sostituito il prodotto non cambia.

a · (k) = a · (b · c) = risultato

Proprietà invariantiva

Proprietà invariantiva della sottrazione

In una sottrazione, sottraendo o aggiungendo ad entrambi i termini la stessa quantità, il risultato non cambia.

a – b = (a + c) – (b + c) con: a ≥ b
a – b = (a – c) – (b – c) con: a ≥ b ≥ c

Proprietà invariantiva della divisione

In una divisione, moltiplicando (o dividendo) i due termini della divisione per uno stesso numero diverso da zero, il quoziente non cambia, mentre il resto viene moltiplicato (o diviso) per lo stesso numero scelto.

Casi particolari

  • a : 1 = a
  • a : a = 1 con a ≠ 0
  • 0 : a = 0 con a ≠ 0
  • a : 0 è impossibile con a ≠ 0
  • 0 : 0 è indeterminata.

Proprietà associativa

Proprietà associativa dell’addizione

La somma di tre numeri non cambia se si associano diversamente gli addendi, lasciando invariato il loro ordine.

Proprietà associativa della moltiplicazione

Il prodotto di tre numeri non cambia se si associano diversamente i fattori, lasciando invariato il loro ordine.

Bibliografia

  1. Matematica C3, Algebra 1 – Codice ISBN: 9788896354803 – Editore: Matematicamente.it – Anno di edizione: 2015