Monomio

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    Si definisce monomio (dall’unione tra il prefisso greco mónos che significa “unico” ed il sostantivo latino nomen che significa “nome, termine”: formato da un solo termine) come un’espressione algebrica letterale, costituita da una parte numerica (coefficiente) e da una parte letterale tra le quali compaiono solamente operazioni di moltiplicazione ed elevamento a potenza; esempi di monomio sono i seguenti: ½x; 7x2y; –9xn

    Se il coefficiente di un monomio è pari a 1, questo viene sottinteso ovvero non viene scritto, ma è come se ci fosse.

    Monomi particolari

    Tutti i numeri possono essere scritti in forma di monomio dato che: 5x0 = 5 con x ≠ 0.

    Fa eccezione il numero 0 (zero) che viene chiamato monomio nullo.

    Grado di un monomio

    Si definisce grado del monomio la somma di tutti gli esponenti della parte letterale. Monomi che hanno la stessa parte letterale (con identico esponente) si dicono simili, e tra questi, sono consentite solamente le operazioni algebriche di somma e differenza; sono invece sempre consentite le operazioni di moltiplicazione e divisione anche tra monomi i cui esponenti della parte letterale risultano essere non uguali (ma aventi sempre parte letterale uguale).

    Se un monomio è costituito soltanto dal numero, il suo grado è zero.

    Forma normale di un monomio

    Un monomio è in forma normale, o ridotto in forma normale, quando è scritto come prodotto di un numero ed una o più lettere diverse tra loro (con eventuali relativi esponenti), ossia:

    • 5x2y3x monomio non ridotto a forma normale
    • 5x3y3 monomio ridotto a forma nomale

    Per procedere in questa operazione si ricorda la prima proprietà delle potenze.

    Operazioni con i monomi

    Tra monomi è possibile compiere le comuni operazioni matematiche; in particolare va fatto notare che la somma algebrica tra monomi da vita ad un polinomio.

    Addizione e sottrazione tra monomi

    L’addizione e la sottrazione tra monomi da come risultato un altro monomio solamente se i monomi coinvolti hanno la stessa parte letterale (ossia sono simili); ad esempio: per x2 + 5x2 è possibile svolgere l’operazione di addizione perché la parte letterale dei due monomi coinvolti è uguale (x2), quindi raccogliendo a fattore comune si avrà: (1 + 5)x2 = 6x2, invece per x2 + 5x non è possibile svolgere l’addizione perché non è possibile raccogliere a fattore comune i coefficienti dei due monomi non simili.

    Moltiplicazione tra monomi

    La moltiplicazione tra monomi è possibile solamente se la parte letterale è la stessa, anche se l’esponente è diverso. Dunque il prodotto di due monomi sarà un monomio che avrà come coefficiente il prodotto dei coefficienti coinvolti e per parte letterale il prodotto delle rispettive parti letterali che si possono ridurre a fattore comune (dello stesso simbolo anche se con esponente differente; vedi proprietà delle potenze); in pratica:

    –3x3 ⋅ 2x3 = (–3 ⋅ 2)x3+3 = –6x6

    3x2 ⋅ 5x3 = (3 ⋅ 5)x2+3 = 15x5

    Divisione tra monomi

    L’operazione di divisione tra monomi segue le stesse regole della moltiplicazione, ed in particolare possiamo aggiungere che dati due monomi (di cui il divisore non deve essere nullo) il loro quoziente è un monomio che ha come coefficiente il quoziente dei coefficienti coinvolti e parte letterale il quoziente delle parti letterali che si possono ridurre a fattore comune (dello stesso simbolo anche se con esponente differente; vedi proprietà delle potenze).

    4x2y : 2x2y = (4 : 2)x2y = 2x2y

    5x3y2 : 7x2y = (5 : 7)(x3 : x2)(y2 : y) = 5/7x3–2y2–1 = 5/7xy

    Potenza di un monomio

    La potenza di un monomio ha come risultato un monomio che ha per coefficiente la potenza del coefficiente dato e per parte letterale la potenza della parte letterale; in pratica:

    (5x2)3 = 53x2⋅3 = 125x6

    Minimo comune multiplo fra monomi

    Il minimo comune multiplo (m.c.m.) tra monomi è un monomio il cui coefficiente è il minimo comune multiplo dei valori assoluti dei coefficienti coinvolti e per parte letterale il prodotto di tutte le lettere prese una sola volta e con l’esponente massimo, dei monomi coinvolti. Se non è possibile calcolare il minimo comune multiplo dei coefficienti, perché ad esempio non sono tutti numeri interi, si assegna il coefficiente 1. Ad esempio:

    m.c.m. (2x2y2; 3x3yz2) = 6x3y2z2

    Massimo comune divisore fra monomi

    Il massimo comun divisore (M.C.D.) tra monomi è un monomio il cui coefficiente è il massimo comune divisore dei valori assoluti dei coefficienti coinvolti e per parte letterale il prodotto delle sole lettere comuni a tutti i monomi coinvolti (ognuna presa una sola volta e con l’esponente minimo). Ad esempio:

    M.C.D. (18x2y2; 84x3yz2)

    notiamo subito che la lettera z non può comparire nel M.C.D. perché non è comune a tutti i monomi; quindi calcoliamo il M.C.D. di 18 = 2 ⋅ 32 e quello di 84 = 22 ⋅ 3 ⋅ 7 quindi si considerano i fattori comuni con esponente più piccolo cioè 2 e 3: entrambi compaiono con esponente minimo uguale a 1, e quindi si ottiene che MCD(18, 84) = 6.

    M.C.D. (18x2y2; 84x3yz2) = 6x2y

    Se tra i coefficienti non ci sono fattori primi comuni, il M.C.D. è 1.