Angoli associati

In Goniometria, si definiscono angoli associati quelle coppie di angoli che possiedono particolari relazioni tra le loro funzioni goniometriche. Nella circonferenza goniometrica chiamiamo angoli associati gli angoli α, π – α, π + α e 2π – α. Tali angoli hanno in valore assoluto stesso seno e stesso coseno.

Formule degli angoli associati del secondo quadrante

cos(π – α) = – cosα

sin(π – α) = sinα

tan(π – α) = – tanα

Formule degli angoli associati del terzo quadrante

cos(π + α) = – cosα

sin(π + α) = – sinα

tan(π + α) = tanα

Formule degli angoli associati al quarto quadrante

cos(2π – α) = cosα

sin(2π – α) = – sinα

tan(2π – α) = – tanα

Formule degli angoli che differiscono di un angolo retto

cos(π/2 + α)= – sinα

sin(π/2 + α) = cosα

tan(π/2 + α) = – cotα

Tipologie di angoli associati

  • Sono angoli associati per ampiezza:
    • angoli complementari
    • angoli supplementari
    • angoli esplementari
  • Sono angoli associati per posizione:
    • angoli opposti al vertice
    • angoli consecutivi
    • angoli adiacenti
  • Sono angoli associati rispetto a due rette tagliate trasversalmente:
    • angoli alterni
    • angoli coniugati
    • angoli corrispondenti

Angoli complementari

In geometria, si definiscono complementari quelle coppie di angoli la cui ampiezza è tale che, se sommati, permettono di ottenere un angolo retto.

Da questa definizione segue che due angoli complementari devono essere entrambi acuti e che ha senso attribuire un complementare solo a un angolo acuto.

Formule degli angoli complementari

La funzione seno dell’angolo complementare di un angolo dato è la funzione coseno dell’angolo dato (e viceversa).

sin(π/2 – α) = cosα

cos(π/2 – α) = sinα

La funzione tangente dell’angolo complementare di un angolo dato è la funzione cotangente dell’angolo dato.

tan(π/2 – α) = cotα

La funzione secante dell’angolo complementare di un angolo dato è la funzione cosecante dell’angolo dato.

Angoli supplementari

In geometria, si definiscono supplementari quelle coppie di angoli la cui ampiezza è tale che, se sommati, permettono di ottenere un angolo piatto. Da questa definizione segue che ogni supplementare di un angolo acuto è un angolo ottuso e viceversa, mentre ogni supplementare di un angolo retto è anch’esso un angolo retto. Quando due angoli supplementari sono anche consecutivi, cioè hanno in comune solo una semiretta, vengono detti anche angoli adiacenti.

Angoli esplementari

In geometria, si definiscono esplementari quelle coppie di angoli la cui ampiezza è tale che, se sommati, permettono di ottenere un angolo giro. Ne segue che ogni esplementare di un angolo concavo è un angolo convesso e viceversa, mentre ogni esplementare di un angolo piatto è anch’esso piatto.

Angoli opposti

Gli angoli opposti al vertice sono angoli non consecutivi fra i quattro angoli formati da due rette che si intersecano. Hanno il vertice in comune ed i lati di uno di essi, sono i prolungamenti dei lati dell’altro. Due angoli opposti al vertice sono congruenti e hanno quindi la stessa ampiezza.

Angoli congruenti

Si definiscono angoli congruenti (detti anche, impropiamente, angoli uguali) quegli angoli che hanno uguale ampiezza (isometrici).

Formule degli angoli opposti

cos( – α) = cosα

sin( – α) = – sinα

tan( – α) = – tanα

Si dice che cosα è una funzione pari, mentre sinα e tanα sono dispari.

Angoli consecutivi

Due angoli che hanno in comune solamente il vertice ed un lato (o semplicemente una semiretta), e giacciono nei due semipiani opposti rispetto al lato in comune si dicono angoli consecutivi.

Angoli adiacenti

Una coppia di angoli consecutivi hanno le semirette non in comune opposte (cioè la loro unione è una retta) allora si dicono angoli adiacenti. Due angoli adiacenti sono anche supplementari in quanto la loro somma forma un angolo piatto.

Angoli alterni

Si definiscono angoli alterni due angoli non contigui situati sui due semipiani diversi.

Angoli coniugati

Si definiscono angoli coniugati due angoli non contigui disposti sullo stesso semipiano.

Angoli corrispondenti

Si definiscono angoli corrispondenti due angoli coniugati in comune ai vertici i semipiani originati dalle rette ma non reciprocamente; il che significa che solo uno degli angoli sarà contemporaneamente intersezione dei tre semipiani.

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