Impulso matematico (delta di Dirac)

Si definisce delta di Dirac o impulso matematico come quella funzione, indicata con Δ(t), dipendente da un parametro reale (generalmente il tempo t) tale che risulti nulla per tutti i valori di detto parametro ad eccezione dello zero.

In matematica, la funzione delta di Dirac (introdotta da Paul Dirac), anche detta impulso di Dirac, distribuzione di Dirac o funzione Δ(t), è una distribuzione la cui introduzione ha spianato la strada per lo studio della teoria delle distribuzioni.

Prima proprietà del Dirac

Seconda proprietà del Dirac

se 0 < a ≤ b oppure a ≤ b <0.

Terza proprietà del Dirac

La terza proprietà del Dirac, detta anche “di simmetria” rispetto all’origine dei tempi o di invarianza rispetto al ribaltamento:

Quarta proprietà del Dirac

per α > 0. Di conseguenza si ha che:

mentre per α < 0, avendo dimostrato l’invariabilità del Dirac rispetto al ribaltamento, si giunge facilmente a:

Quinta proprietà del Dirac

Considerando un Dirac centrato in un istante τ invece che nell’origine, e pertanto sarà δ0(t – τ), e moltiplicando tale Dirac per un segnale x(t) generico, si verifica che:

infatti, poiché il Dirac è sempre nullo eccetto nell’istante t = τ, l’unico valore del segnale x(t) che non si annulla nel prodotto è quello assunto nell’istante t = τ stesso. Ciò significa che il segnale risultante dal prodotto tra il Dirac centrato in t = τ ed il segnale x(t) altro non è che un Dirac di area x(τ) centrato nel punto t = τ. Questa proprietà del Dirac viene detta anche proprietà di moltiplicazione.

Sesta proprietà del Dirac

Si consideri nuovamente il prodotto tra un Dirac centrato in t = τ ed un qualsiasi segnale x(t), e si calcoli il seguente integrale:

per la proprietà di moltiplicazione del Dirac si può scrivere:

ovvero essendo: δ0(τ – t) si ha che:

Questa proprietà è anche detta proprietà del Dirac di campionamento, in sostanza, integrando il prodotto tra un Dirac centrato in t = τ ed un qualunque segnale x(t), t che va da -∞ a +∞, si ottiene come risultato il valore che il segnale assume proprio nell’istante t = τ (e quindi si ottiene un vero e proprio campionamento, ossia una lettura del valore del segnale in tale istante).