Geometria euclidea

Indice dei contenuti

    Assiomi di Euclide

    Euclide nei suoi Elementi aveva individuato un gruppo di cinque assiomi, che riguardano le nozioni comuni e quindi non fanno riferimento alla geometria, e un gruppo di cinque postulati che riguardano proprietà geometriche.

    1. Cose che sono uguali a una stessa cosa sono uguali anche tra loro.
    2. Se cose uguali sono addizionate a cose uguali, le totalità sono uguali.
    3. Se da cose uguali sono sottratte cose uguali, i resti sono uguali.
    4. Cose che coincidono fra loro sono uguali.
    5. Il tutto è maggiore della parte.

    Postulati di Euclide

    I cinque postulati di Euclide si enunciano come segue:

    1. Tra due punti ben distinti giacenti su di un piano passa una e una sola retta;
    2. Dato un segmento, è possibile prolungarlo oltre i suoi due punti estremi, indefinitamente;
    3. Dato il centro ed il raggio esiste uno ed un solo cerchio;
    4. Tutti gli angoli retti sono congruenti tra loro;
    5. Dato un punto esterno ad una retta (entrambi giacenti sullo stesso piano) esiste una ed una sola retta passante per quel punto e parallela alla retta data.

    I postulati di Euclide definiscono:

    • l’esistenza degli enti geometrici: esistono infiniti punti, dunque esistono infinite rette;
    • l’appartenenza dei legami fra gli enti geometrici:
      • per un punto passano infinite rette;
      • per due punti distinti passa una sola retta;
      • dato un piano ed una retta, la retta divide il piano in due semipiani in modo tale che se prendiamo due punti nello stesso semipiano il segmento che li unisce non taglia la retta, mentre se prendiamo i due punti in semipiani opposti il segmento che li unisce taglia la retta;
    • l’uguaglianza; bisogna distinguere fra uguaglianza e congruenza, infatti due cose sono uguali se sono la stessa cosa, cioè se occupano lo stesso spazio nello stesso tempo. Diremo invece che due cose sono congruenti se sono uguali ma occupano spazi diversi nello stesso tempo, dunque:
      • tutti i punti sono fra loro congruenti;
      • tutte le rette sono fra loro congruenti;
    • l’ordine, ovvero danno il concetto di ordine sulla retta e nel piano:
      • data una retta e su di essa due punti distinti si può scegliere sulla retta un verso per cui il primo punto preceda il secondo ed il secondo segua il primo;
      • data una retta e su di essa due punti distinti esiste sempre un terzo punto che si trovi compreso fra il primo ed il secondo (in pratica significa che i punti su qualunque segmento di retta sono infiniti).