Equazione di Fourier

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    La trasmissione del calore è quel meccanismo che il sistema mette in atto quando c’è uno squilibrio termico al suo interno, oppure, con altri sistemi adiacenti. Dunque, affinché il calore si propaghi all’interno di un corpo o una sostanza (da una zona a temperatura più alta ad una più bassa), la temperatura interna al sistema considerato deve essere non uniforme, ossia deve sussistere un gradiente di temperatura.

    In ogni istante di tempo t, in ogni punto del sistema, è associato il vettore gradiente di temperatura gradT(x, y, z, t). Il gradiente ci fornisce un’indicazione di come varia nello spazio la funzione temperatura, oltre che una misura del grado di disuniformità spaziale della temperatura.

    L’individuazione dello stato termico, ossia del campo termico interno T(x, y, z, t), è possibile ricorrendo al tracciamento di superfici isoterme; in ogni istante, l’insieme di queste superfici definirà lo stato termico del corpo come le superfici equipotenziali definiscono stato elettrico di un dielettrico, e come in quest’ultimo caso il campo elettrico è più intenso là dove le superfici equipotenziali sono più vicine, così la propagazione del calore avverrà in misura relativamente maggiore là dove le superfici isoterme si addensano, cioè, dove la temperatura varia da punto a punto con maggiore rapidità (ossia dove è maggiore il gradiente termico).

    La variazione temporale della forma e della posizione delle superfici isoterme, individua il modo di variare dello stato termico del corpo. Durante il periodo variabile della propagazione, la temperatura dei punti del corpo è funzione non solo della loro posizione, ma anche del tempo; ed anche le modalità della trasmissione variano da punto a punto, con il tempo.

    La propagazione del calore può giungere ad uno stato limite in cui la sua entità e le sue modalità rimangono invariabili con il tempo, detto stato è chiamato stato stazionario o di regime stazionario). In altre parole, le porzioni calde del corpo cedono calore a quelle più fredde, allo stesso tempo, la sorgente di calore rifornisce alla porzione cedente calore la stessa quantità di calore ceduta, tale che la temperatura resti costante; d’altra parte sempre allo stesso tempo, la porzione fredda che ha ricevuto calore cede questa quantità ad una sorgente fredda, tale che anche la sua temperatura resti invariata, e garantire così un flusso di calore costante, e quindi un regime stazionario.

    È facile dimostrare che il calore, nel propagarsi, deve seguire delle linee che in ogni istante siano normali in ogni loro punto al sistema delle superfici isoterme. In altre parole le linee di trasmissione (o di flusso) del calore costituiscono ciò che si chiama il sistema delle traiettorie ortogonali alle superfici isoterme. Se le linee di flusso non fossero ortogonali alla superficie isoterma si avrebbe una componente tangenziale della propagazione del calore giacente sulla superficie isoterma stessa, cosa ovviamente inaccettabile in quanto essendo per definizione isoterma, la superficie non presenta alcun gradiente termico che consenta un flusso di calore.

    Dunque, il gradiente di temperatura è in ogni punto perpendicolare alle superfici isoterme dei rispettivi punti del sistema, e di conseguenza, le linee di flusso sono tangenti, punto per punto, al vettore gradiente.

    Due linee di flusso di calore non possono mai intersecarsi (tranne nel caso in cui il punto di intersezione costituisca una sorgente di calore), poiché non possono esistere due distinte perpendicolari, in uno stesso punto di una medesima superficie.

    Alla luce di dette considerazioni, si è postulato che la quantità di calore dQ che, in un intervallo di tempo dt, si trasmette attraverso una superficie dS ed alla derivata della temperatura secondo la normale alla superficie, calcolata sulla superficie stessa, anche in regime non stazionario e per superfici comunque orientate, anche non isoterme:

    dove k è la conducibilità termica interna; il segno negativo indica che il calore si trasmette dalle porzioni più calde del sistema a quelle più fredde, ossia nel verso delle temperature decrescenti e quindi nel verso dei gradienti negativi.