Disequazione

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    Le disequazioni, al contrario delle equazioni, sono delle disuguaglianze tra monomi, o polinomi, per la quale si cerca la soluzione (valore numerico) di una o più variabili letterali, chiamate incognite (come per le equazioni).

    Esercizi svolti e commentati passo-passo sulle disequazioni

    Determinare l’insieme delle soluzioni delle seguenti disequazioni.

    Esercizio 1

    \(\dfrac{1+3x}{3}-\dfrac{1}{4}(x-1)<\dfrac{x+6}{6}-\dfrac{1}{3}\)

    risolviamo le parentesi e semplifichiamo la disequazione

    \(\dfrac{1}{3}+x-\dfrac{1}{4}x+\dfrac{1}{4}<\dfrac{x}{6}+1-\dfrac{1}{3}\)

    portiamo a sinistra della disuguaglianza tutti i termini con l’incognita \(x\) e a destra tutto il resto

    \(x-\dfrac{1}{4}x-\dfrac{x}{6}<1-\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}\)

    quindi svolgiamo il minimo comune multiplo, risolviamo e semplifichiamo

    \(\dfrac{12x-3x-2x}{12}<\dfrac{12-4-4-3}{12}\)

    \(x<\dfrac{1}{7}\) quindi la soluzione della disequazione è: \(S=\left(-\infty, \dfrac{1}{7}\right)\)

    Esercizio 2

    \((x+5)^2-(x-1)(2x+1)>13(x+2)\)

    risolviamo le parentesi e semplifichiamo la disequazione

    \(x^2+25+10x-2x^2-x+2x+1>13x+26\)

    \(-x^2-2x>0\) ora studiamo le soluzioni

    \(-x(x+2)>0\left\{\begin{matrix}
    -x>0 & \rightarrow & x<0\\
    x+2>0 & \rightarrow & x>-2
    \end{matrix}\right.\)

    Quindi: \(-2<x<0\)

    Esercizio 3

    \(x^2-10x+26>0\)

    \(x_{1/2}=\dfrac{10\pm\sqrt{10^2-104}}{2}\)

    essendo \(\Delta <0\) la seguente disequazione è impossibile, pertanto \(\forall x\in\mathbb{R}\)

    Esercizio 4

    \((3-4x)(x^2+x+1)\leq 0\)

    studio separatamente primo e secondo fattore:

    1. \(3-4x\geq 0 \rightarrow x\geq\dfrac{3}{4}\)
    2. \(x^2+x+1\geq 0 \rightarrow x_{1/2}=\dfrac{-1\pm\sqrt{1-4}}{2}\) essendo \(\Delta <0\) la disequazione è impossibile, pertanto \(\forall x\in\mathbb{R}\)

    Dunque le soluzioni della disequazione proposta sono: \(S=\left[\dfrac{3}{4},+\infty\right)\)

    Esercizio 5

    Determinare l’insieme delle soluzioni della seguente disequazione fratta

    \(\dfrac{x-2}{2}>\dfrac{3}{x-1}\)

    studio per prima cosa: \(x-1>0 \rightarrow x>1\); successivamente porto a tutto a primo membro ed eseguo il minimo comune multiplo

    \(\dfrac{x-2}{2}-\dfrac{3}{x-1}>0\)

    \(\dfrac{(x-2)(x-1)-6}{2(x-1)}>0\)

    \(x^2-x-2x-2-6>0\rightarrow x^2-3x-4>0\)

    \(x_{1/2}=\dfrac{3\pm\sqrt{9+16}}{2}=\left\{\begin{matrix}
    4\\
    \\
    -1
    \end{matrix}\right.\)

    quindi le soluzioni dell’equazione sono: \(S=-1<x<1\wedge (4,+\infty)\)

    Esercizio 6

    \(1-\dfrac{6}{1-4x^2}>\dfrac{2}{2x-1}-\dfrac{3}{2x+1}\)

    guardando i denominatori noto che:

    • \(1-4x^2>0\rightarrow 4x^2<1\rightarrow x^2<\dfrac{1}{4}=\left\{\begin{matrix}
      x<0 \\
      x<\dfrac{1}{2}
      \end{matrix}\right.\)
    • \(2x-1>0\rightarrow x>\dfrac{1}{2}\)
    • \(2x+1>0\rightarrow x>-\dfrac{1}{2}\)

    pertanto le soluzioni della disequazione fratta sono: \(S=-\dfrac{1}{2}<x<0\wedge \left(\dfrac{1}{2},+\infty\right)\)

    Esercizi svolti e commentati passo-passo sulle disequazioni irrazionali

    Esercizio 1

    \(\sqrt{2x+1}\geq 3\)

    le soluzioni della disequazione irrazionale sono:

    \((\sqrt{2x+1})^2\geq 3^2\)

    \(2x+1\geq 9\rightarrow x\geq 4\)

    quindi: \(S=[4,+\infty)\)

    Esercizi svolti e commentati passo-passo su i sistemi di disequazioni

    Esercizio 1

    \(\left\{\begin{matrix}
    \dfrac{x-1}{3}+\dfrac{x-2}{2}<2 \\
    \\
    x-\dfrac{3-x}{2}\geq 1
    \end{matrix}\right.\)

    risolvo ed eseguo il minimo comune multiplo delle rispettive disequazioni a sistema

    \(\left\{\begin{matrix}
    \dfrac{2(x-1)+3(x-2)-12}{6}<0 \\
    \\
    \dfrac{2x-3+x-2}{2}\geq 0
    \end{matrix}\right.\)

    quindi…

    \(\left\{\begin{matrix}
    5x<20 & \rightarrow & x<4 \\
    \\
    \dfrac{3x}{2}\geq \dfrac{5}{2} & \rightarrow & x\geq\dfrac{5}{3}
    \end{matrix}\right.\)

    pertanto le soluzioni del sistema sono: \(\dfrac{5}{3}\leq x<4\) ovvero \(S=\left[\dfrac{5}{3},4\right)\)

    Esercizio 2

    \(\left\{\begin{matrix}
    (5x+1)^2>10x+1 \\
    \\
    x^2+x\sqrt{2}\leq 2(x+\sqrt{2})
    \end{matrix}\right.\)

    risolvo le parentesi e semplifico le disequazioni

    \(\left\{\begin{matrix}
    25x^2+10x+1>10x+1\\
    \\
    x^2+x\sqrt{2}\leq 2x+2\sqrt{2}
    \end{matrix}\right.\)

    \(\left\{\begin{matrix}
    25x^2>0 & \rightarrow & x^2>0\\
    \\
    x^2+x\sqrt{2}-2x-2\sqrt{2}\leq 0
    \end{matrix}\right.\)

    \(\left\{\begin{matrix}
    x^2>0 & \rightarrow & \forall x\neq 0\\
    \\
    x(x+\sqrt{2})-2(x+\sqrt{2})\leq 0 & \rightarrow & (x-2)(x+\sqrt{2})\leq 0
    \end{matrix}\right.\)

    quindi le soluzioni sono:

    • \(\forall x\neq 0\)
    • \(x-2\leq 0 \rightarrow x\leq 2\)
    • \(x+\sqrt{2}\leq 0 \rightarrow x\leq -\sqrt{2}\)

    quindi \(S=[-\sqrt{2},0)\cup (0,2]\)