Circonferenza goniometrica
La circonferenza goniometrica, detta anche circonferenza trigonometrica o circonferenza unitaria (ovvero di raggio pari ad 1), è una figura fondamentale centrata nell’origine del piano cartesiano che permette di definire le funzioni trigonometriche di seno, coseno, tangente e cotangente, ed inoltre, consente anche di definire gli angoli con ampiezze maggiori di 360° e minori di 0°. Mediante la circonferenza goniometrica è possibile disegnare un angolo qualsiasi e stabilire una corrispondenza del tipo angolo-punto appartenente alla circonferenza.
La goniometria ha come oggetto di studio la misurazione degli angoli piani in relazione con le lunghezze di segmenti (archi corrispondenti) attraverso funzioni goniometriche definite a partire dalla circonferenza goniometrica.
Le cinque relazioni fondamentali della Goniometria
Considerando una circonferenza goniometrica e un angolo orientato \(\alpha\) studiamo le cinque relazioni fondamentali della Goniometria.
Prima relazione fondamentale
\[\cos^2\alpha+\sin^2\alpha=1\]
Da questa si ricavano:
\[\cos\alpha=\pm\sqrt{1-\sin^2\alpha}\]
\[\sin\alpha=\pm\sqrt{1-\cos^2\alpha}\]
Ricordare di valutare la posizione di \(\alpha\) per la scelta opportuna dei segni.
Seconda relazione fondamentale
\[\tan\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\]
che vale solo per \(\alpha \neq \dfrac{\pi}2+k\pi\) con \(k \in \mathbb{Z}\).
Dalle due precedenti relazioni si ricava che:
\[\cos^2\alpha=\dfrac{1}{1+\tan^2\alpha}\]
che vale solo per \(\alpha \neq \dfrac{\pi}2+k\pi\) con \(k \in \mathbb{Z}\).
Da questa si ricava:
\[\cos\alpha=\pm\dfrac{1}{\sqrt{1+\tan^2\alpha}}\]
Ricordare di valutare la posizione di \(\alpha\) per la scelta opportuna dei segni.
Terza relazione fondamentale
\[\cot\alpha=\dfrac{\cos \alpha}{\sin\alpha}\]
che vale solo per \(\alpha \neq k\pi\) con \(k \in \mathbb{Z}\).
Quarta relazione fondamentale
\[\sec\alpha=\dfrac{1}{\cos\alpha}\]
che vale solo per \(\alpha \neq \dfrac{\pi}2+k\pi\) con \(k \in \mathbb{Z}\).
Quinta relazione fondamentale
\[\csc\alpha=\dfrac{1}{\sin\alpha}\]
che vale solo per \(\alpha \neq k\pi\) con \(k \in \mathbb{Z}\).
Formule goniometriche
Formule di addizione e sottrazione
Le “formule di addizione e sottrazione” permettono di trasformare le funzioni trigonometriche della somma o differenza di due angoli in un’espressione composta da funzioni trigonometriche dei due angoli.
Formule di addizione
\(\sin(\alpha + \beta)=\sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta \)
\(\cos(\alpha + \beta)=\cos\alpha \cos\beta – \sin\alpha \sin\beta \)
\(\tan(\alpha + \beta)=\dfrac {\tan\alpha + \tan\beta} {1 – \tan\alpha \tan\beta}\)
\(\cot(\alpha + \beta)=\dfrac {\cot\alpha \cot\beta – 1} {\cot\alpha + \cot\beta}\)
La formula della tangente vale per \(\alpha, \beta, \alpha+\beta \neq \dfrac\pi 2 +k\pi \) con \(k \in \mathbb{Z} \)
La formula della cotangente vale per \(\alpha, \beta, \alpha+\beta \neq k\pi \) con \(k \in \mathbb{Z} \)
Formule di sottrazione
\(\sin(\alpha – \beta)=\sin\alpha \cos\beta – \cos\alpha \, \sin\beta \)
\(\cos(\alpha – \beta)=\cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta \)
\(\tan(\alpha – \beta)=\dfrac {\tan\alpha – \tan\beta} {1 + \tan\alpha \tan\beta}\)
\(\cot(\alpha – \beta)=\dfrac {\cot\alpha \cot\beta + 1} {\cot\beta – \cot\alpha}\)
La formula della tangente vale per \(\alpha, \beta, \alpha-\beta \neq \dfrac\pi 2 +k\pi \) con \(k \in \mathbb{Z}\)
La formula della cotangente vale per \(\alpha, \beta, \alpha-\beta \neq k\pi \) con \(k \in \mathbb{Z}\)
Formule di duplicazione
\(\sin(2\alpha)=2\sin\alpha \cos\alpha \)
\(\cos(2\alpha)=\cos^2\alpha – \sin^2\alpha = 1 – 2\sin^{2}\alpha = 2\cos^{2}\alpha – 1\)
\(\tan(2\alpha)=\dfrac{2\tan\alpha}{1 – \tan^2\alpha}\)
L’ultima formula vale per \(\alpha\neq \dfrac\pi 2 +k\pi\) e \(\alpha\neq \pm\dfrac\pi 4+ k \pi \) con \(k \in \mathbb{Z}\)
Formule di linearità
\(\cos^2\alpha=\dfrac{1+\cos(2\alpha)}{2} \)
\(\sin^2\alpha=\dfrac{1-\cos(2\alpha)}{2} \)
\(\tan^2\alpha=\dfrac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}=\dfrac{1-\cos(2\alpha)}{1+\cos(2\alpha)}\)
L’ultima formula vale per \(\alpha\neq \dfrac\pi 2 +k\pi \) con \(k \in \mathbb{Z}\)
Formule di bisezione
Attenzione: è necessario valutare in quale quadrante cade \(\dfrac{\alpha}{2}\) per poter scegliere i segni opportuni delle seguenti formule:
\(\cos\left(\dfrac{\alpha} 2\right)=\pm\sqrt{\dfrac{1+\cos\alpha}{2} }\)
\(\sin\left(\dfrac{\alpha} 2\right)=\pm\sqrt{\dfrac{1-\cos\alpha}{2} } \)
\(\tan\left(\dfrac{\alpha} 2\right)=\pm\sqrt{\dfrac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}}\)
L’ultima formula vale per \(\alpha\neq \pi+2k\pi\).
Formule parametriche
\(\cos\alpha=\dfrac{1-t^2}{1+t^2}\)
\(\sin\alpha=\dfrac{2t}{1+t^2}\)
\(\tan\alpha=\dfrac{2t}{1-t^2}\)
dove \(t=\tan\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)\) con \(\alpha\neq \pi+2k\pi\)
Formule di prostaferesi
\(\sin p+\sin q=2\sin \left(\dfrac{p+q}{2}\right)\cos \left(\dfrac{p-q}{2}\right)\)
\(\sin p-\sin q=2\cos \left(\dfrac{p+q}{2}\right)\sin \left(\dfrac{p-q}{2}\right)\)
\(\cos p+\cos q=2\cos \left(\dfrac{p+q}{2}\right)\cos \left(\dfrac{p-q}{2}\right)\)
\(\cos p-\cos q=-2\sin \left(\dfrac{p+q}{2}\right)\sin \left(\dfrac{p-q}{2}\right)\)
Le formule di prostaferesi trasformano somme di funzioni goniometriche in prodotti.
Formule di Werner (inverse delle formule di prostaferesi)
\(\sin\alpha\cos\beta=\dfrac {1}{2} \left[ \sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta)\right]\)
\(\cos\alpha\cos\beta=\dfrac {1}{2} \left[ \cos(\alpha+\beta) + \cos(\alpha-\beta)\right]\)
\(\sin\alpha\sin\beta=-\dfrac {1}{2} \left[ \cos(\alpha+\beta) – \cos(\alpha-\beta)\right]\)
Le formule di Werner trasformano prodotti di funzioni goniometriche in somme.