Analisi numerica

L’analisi numerica (detta anche calcolo numerico o calcolo scientifico) è una branca della Matematica il cui obbiettivo è quello di dare una risposta numerica ad un problema matematico tramite un algoritmo, che può essere implementato su di un calcolatore digitale.

L’analisi numerica trova naturalmente applicazione in tutti i campi dell’ingegneria e delle scienze fisiche, ma nel XXI secolo anche nelle scienze della vita, le scienze sociali, la medicina, l’economia e persino le arti.

Argomenti di studio

  • Calcolo Numerico – Obiettivi e problemi nella risoluzione di problemi pratici al calcolatore.
  • Numeri Finiti – Rappresentazione dei numeri reali. I numeri finiti. Errori di rappresentazione. Aritmetica floating point. Analisi dell’errore nelle operazioni aritmetiche elementari. Propagazione degli errori: condizionamento di un problema e stabilità dell’algoritmo risolutivo.
  • Zeri di Funzioni – Formulazione del problema. Tecniche di Risoluzione. Metodi iterativi, convergenza e ordine dei metodi. Metodi a convergenza locale e a convergenza globale. Metodo di bisezione e altri metodi del primo ordine. Metodi iterativi di punto fisso. Teorema di convergenza. Un metodo del secondo ordine: il metodo di Newton. Metodi quasi-Newton: il metodo delle secanti.
  • Soluzione numerica di Sistemi Lineari – Indice di condizionamento di una matrice e condizionamento del problema. Algoritmo di eliminazione Gaussiana e fattorizzazione LU di una matrice. Stabilità della fattorizzazione LU. Strategie pivotali. Fattorizzazione di Cholesky per matrici simmetriche e definite positive. Metodo di Householder e fattorizzazione QR di matrici rettangolari. Proprietà.
  • Approssimazione ai minimi quadrati – Metodo delle equazioni normali e metodo QRLS (risoluzione del problema ai minimi quadrati utilizzando la fattorizzazione QR). Proprietà dei due metodi.
  • Interpolazione – Interpolazione polinomiale. Esistenza ed unicità del polinomio interpolatore. Forma di Lagrange e forma di Newton. Espressione dell’errore nell’interpolazione polinomiale. Problemi di convergenza. Condizionamento del problema di interpolazione polinomiale.
  • Integrazione Numerica – Formule di quadratura di Newton-Cotes. Formule semplici e formule composite. Errore delle formule di quadratura semplici e composite. Quadratura adattiva.