Algebra

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    L’Algebra è una delle branche fondamentali della Matematica volta allo studio e all’estensione dei procedimenti aritmetici su i numeri e le quantità variabili. Il termine algebra (dall’arabo الجبر, al-ǧabr che significa “unione”, “connessione” o “completamento”, ma anche “aggiustare”) deriva dal libro del matematico persiano Muḥammad ibn Mūsā al-Khuwārizmī, intitolato Al-kitāb al-muḫtaṣar fī ḥīsāb al-ǧabr wa l-muqābala (“Compendio sul calcolo per completamento e bilanciamento”), conosciuto anche nella forma breve Al-kitāb al-ǧabr wa l-muqābala, che tratta la risoluzione delle equazioni di primo e di secondo grado.

    Ciò che distingue l’algebra in modo essenziale dall’aritmetica e dalla geometria è il fatto che il suo oggetto non consiste nel trovare proprio i valori delle quantità cercate, ma nell’individuare il sistema delle operazioni da eseguire sulle quantità date per derivarne le quantità cercate, secondo le condizioni del problema. La sequenza di tali operazioni è quello che in algebra si chiama una formula; quando una quantità dipende da altre in modo che sia possibile esprimerla con una formula che contiene queste ultime, si dice allora che essa è funzione di tali quantità. Dunque si può definire l’algebra come l’arte di determinare le incognite come funzioni di quantità note o che si considerano tali.

    Joseph-Louis Lagrange

    Settori di applicazione dell’algebra

    Algebra elementare

    L’algebra elementare studia il calcolo letterale, cioè studia i monomi e i polinomi ed estende ad essi le operazioni aritmetiche, dette in questo contesto operazioni algebriche.

    Algebra astratta

    L’algebra astratta è basata sulla teoria degli insiemi; si occupa dello studio delle strutture algebriche (cioè di insiemi in cui sono definite una o più operazioni e delle relative proprietà) come gruppi, anelli e campi. Essa parte dallo studio degli “insiemi privi di struttura” (o insiemistica vera e propria), per analizzare insiemi via via sempre più strutturati, cioè dotati di una o più leggi di composizione.

    Algebra di Boole

    L’algebra di Boole è un sistema di logica matematica a due stati, che permette di effettuare un calcolo algebrico che ha come oggetto non i numeri, ma i valori di verità di enunciati; ossia dove le variabili (dette variabili booleane) possono assumere solo due stati: vero (1) o falso (0).

    Algebra di Lie

    L’algebra di Lie (che prende il nome da Sophus Lie) è una struttura algebrica usata principalmente per lo studio di oggetti geometrico analitici come i gruppi di Lie e le varietà differenziabili.

    Algebra lineare

    L’algebra lineare si occupa dello studio degli spazi vettoriali e delle trasformazioni lineari. Viene applicata anche per studiare le equazioni lineari, cioè le equazioni omogenee di primo grado. Le applicazioni dell’algebra lineare sono di importanza fondamentale in fisica, in molte branche (anche non algebriche) della matematica e in altre discipline scientifiche.